السابق 249 التالي

حل رياضيات 2 مقررات صفحة 42

الحل

رياضايات (2)

هندسة احداثية : مثل في المستوى الاحداثي الشكل الرباعي المعطاة احداثيات رؤوسه في كل مما ياتي ، وحدد اذا كان مستطيلا ام لا . برر اجابتك باستعمال الطريقة المحدد في السؤال .

22) $W(-2,4), X(5,5), y(6,-2), z(-1,-3)$ صيغة الميل

ميل $7 = \frac{-2-5}{4-5}=\overline{WX}$

ميل $7 = \frac{6+1}{-2+3}=\overline{YZ}$

ميل $-\frac{1}{7}= \frac{5-6}{5+2}=\overline{XY}$

ميل $-\frac{1}{7}= \frac{-2+1}{4+3}=\overline{ZW}$

نعم ، بما ان ميل $\overline{WX}$ يساوي ميل $\overline{YZ}$ ويساوي 7 ، وميل $\overline{XY}$ يساوي ميل $\overline{ZW}$ ويساوي $-\frac{1}{7}$ ، فان WXYZ متوازي اضلاع وبما ان حاصل ضرب ميلي كل ضلعين متجاورن يساوي -1 ، فان الاضلاع المتجاورة متعامدة وتشكل زوايا قائمة لذلك فان الشكل مستطيل

23) $J(3,5),K(-5,2), L(-4,-4),M(4,-3)$ . صيغة المسافة بين النقطتين.

$MJ=\sqrt{(4-3)^{2}+(-3,-3)^{2}}=\sqrt{37}$

$KL=\sqrt{(-5+4)^{2}+(2+4)^{2}}=\sqrt{37}$

$LM=\sqrt{(-4-4)^{2}+(-4+3)^{2}}=\sqrt{65}$

$JK=\sqrt{(3+5)^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{65}$

بما ان KL = MJ & JK = LM فان JKLM متوازي اضلاع

$JL=\sqrt{(3+4)^{2}+(3+4)^{2}}=\sqrt{98}$

$KM=\sqrt{(-5-4)^{2}+(2+3)^{2}}=\sqrt{106}$

بما ان القطران غير مطابقان لذلك فان الشكل ليس مستطيلا

24) $Q(-2,2), R(0,-2), S(6,1), T(4,5)$ صيغة المسافة بين نقطتين

$TQ=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-2-5)^{2}}=\sqrt{45}$

$RS=\sqrt{(0-6)^{2}+(-2-1)^{2}}=\sqrt{45}$

$QR=\sqrt{(-2-0)^{2}+(2+2)^{2}}=\sqrt{20}$

$ST=\sqrt{(6-4)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{20}$

QR = ST & RS = TQ ، اذن الشكل متوازي اضلاع

QS = RT = $\sqrt{65}$ ، فان القطرين متطابقين والشكل مستطيل

25) $G(1,8), H(-7,7), J(-6,1), K(2.2)$ ، صيغة الميل

ميل $\frac{-1}{6}=\frac{1-2}{8-2} = \overline{KG}$

ميل $\frac{-1}{6}=\frac{-7+6}{7-1} = \overline{HJ}$

ميل $8=\frac{-8}{-1}=\frac{-6-2}{1-2} = \overline{JK}$

ميل $8=\frac{8}{1}=\frac{1+7}{8-7} = \overline{GH}$

نعم ، بما ان ميل $\overline{KG}$ يساوي ميل $\overline{HJ}$ ويساوي $\frac{-1}{6}$ وميل $\overline{JK}$ يساوي ميل $\overline{GH}$ ويساوي 8 فان الشكل GHJK متوازي اضلاع

وبما ان حاصل ضرب كل ضلعين متجاورين لايساوي -1 فان الاضلاع المتجاورة ليست متعامدة ولا تشكل زوايا قائمة لذلك فان الشكل ليس مستطيل

** في المستطيل ABCD اذا كان $m\angle 2=40$

فاوجد كلا مما يأتي :

26) $m\angle 1$

$\because m\angle 1 + \angle 2 =90^{\circ}$

$\therefore m\angle 1 +40 =90^{\circ}$

$m\angle 1 =90-40 =50^{\circ}$

27) $m\angle 7$

بالتبادل داخليا $m\angle 7 = \angle ACB= 40^{\circ}$

28) $m\angle 3$

بالتبادل داخليا $\angle 3 = \angle 2 = 40^{\circ}$

29) $m\angle 5$

$\angle 4 = 90 - \angle 3$

$\angle 4 = 90 - 40 = 50 ^{\circ}$

$\angle 6 = \angle 4 = 50 ^{\circ}$

$\angle 5=180 - (50+50) = 80^{\circ}$

30) $m\angle 6$

مثلث متطابق الضلعين $\angle 6=\angle 4=50^{\circ}$

31) $m\angle 8$

$\angle 8$ مكملة $m\angle 5$ $\angle 8 = 180 -80 = 100^{\circ}$

32) مكتبات: اضاف زيد رفا جديدا لمكتبته ودعائم معدنية متقاطعة كما في الشكل المجاور. كم يجب أن يكون طول كل من الدعائم المعدنىة بحيث تكون الرفوف عمودية على الجانبين ؟ وضح اجابتك ( ارشاد: 12in=1 ft )

حتى تكون الزوايا قوائم يجب ان تكون اطوال الدعائم الحديدية متساوية وبما ان طول الرف معلوم والمسافة بين الرفوف معلومة فيمكن استعمال نظرية فيثاغورث لايجاد طول الدعامة العمودية وقد وجد ان طول الدعامة 3 اقدام و3 بوصات.

$(NP)^{2}=15^{2}+(3*12)^{2}$

$(NP)^{2}=225+1296=1521$

$NP =39in =\frac{39}{12}\approx 3ft$

33) النظرية 1.13

المعطيات WXYZ مستطيل قطراه $\overline{WY}$ و $\overline{XZ}$

المطلوب : $\overline{WY}\cong \overline{XZ}$

البرهان :

WXYZ مستطيل قطراه $\overline{WY}$ و $\overline{XZ}$ ( معطيات )
$\overline{WY}\cong \overline{XZ}$ ( الاضلاع المتقابلة للمستطيل متطابقة )
$\overline{WZ}\cong \overline{WZ}$ ( خاصية الانعكاس )
$\angle YZW , \angle XWZ$ ( تعريف المستطيل )
$\angle YZW \cong \angle XWZ$ ( جميع الزوايا القائمة متطابقة )
$\Delta YZW \cong \Delta XWZ$ ( SAS )
$\overline{WY}\cong \overline{XZ}$ ( العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة )

34) النظرية 1.14

المعطيات WXYZ متوازي اضلاع و $\overline{WY}\cong \overline{XZ}$

المطلوب :WXYZ مستطيل

البرهان :

WXYZ متوازي اضلاع و $\overline{WY}\cong \overline{XZ}$ ( معطيات )
$\overline{WY}\cong \overline{XZ}, \overline{XY}\cong \overline{WZ}$ ( كل ضلعين متقابيلن في متوازي الاضلاع متطابقان )
$\Delta WZX\cong \Delta XYW$ ( SSS )
$\Delta WZX\cong \Delta XYW$ ( العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين متطابقة )
$\angle WZX=\angle XYW$ ( تعريف الزوايا المتطابقة )
$\angle YXW, \angle ZWX$ متكاملتان ( الزوايا المتحالفة في متوازي الاضلاع متكاملة )
$m\overline{AD}ZWX+$ ( تعريف الزاويتان المتكاملتين ) $m\sqrt{(0+1)^{2}+(6+4)^{2}}=\sqrt{1+100}=\sqrt{101} YXW = 180^{\circ}$
$\angle XYZ , \angle WZY$ قائمتان ( اذا كانت زاويتين متطابقتين ومتكاملتين فان كلا منهما قائمة )
$\angle XYZ , \angle WZY$ قائمتان ( اذا كانت زوايا احدى متوازي الاضلاع قائمة فان زواياه الاربعة قائمة )
WXYZ مستطيل ( تعريف المستطيل )