السابق 249 التالي

حل رياضيات 2 مقررات صفحة 49

الحل

رياضيات ( 2 )

جبر : استعن بالمعين ABCD المبين جانبا:

1) اذا كان $m\angle BCD=114^{\circ}$ فاوجد $m\angle BAC$

$\angle BCD = \angle BAD = 114^{\circ}$ الزوايا المتناظرة متطابقة

AC ينصف $\angle BAD$

$\angle BAC = \frac{114}{2}=57^{\circ}$

2) اذا كان BC = x + 7 , و AB = 2x +3 فاوجد CD

بما ان الشكل معين اذن جميع اضلاعه متطابقة

BC=AB=CD=AD

x+7=2x+3

x = 4

AD = x+7

AD = CD = 11

3) برهان : اكتب برهانا ذا عمودين لاثبات انه اذا كان ABCD معينا وكان DB قطرا فيه ، فان $\overline{AP}\cong \overline{CP}$

ABCD معين فيه BD قطر ( معطى )
$\angle ABP \cong \angle CBP$ ( قطرا المعين ينصفان زواياه )
$\overline{PB}\cong \overline{PB}$ ( خاصية الانعكاس )
$\overline{AB}\cong \overline{CB}$ ( تعريف المعين )
$\Delta {APB}\cong \Delta {CPB}$ ( SAS )
$\overline{AP}\cong \overline{CP}$ (العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين متطابقة )

4) تتكون الارضية ادناه من 64 بلاطة متطابقة . استعمل هذه المعطيات لاثبات ان الارضية نفسها مربعة

بما ان جميع بلاط الارضية متطابق اذن الشكل متوازي اضلاع وبما ان الاضلاع المتتالية متطابقة اذن الشكل معين وبحسب النظرية 5.2 فان الشكل مربع

هندسة احداثية : حدد ما اذا كان QRST المعطاة احداثيات رؤوسه في كل مما يأتي معينا او مستطيلا او مربعا ز اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه وضح اجابتك .

5) $Q(1,2),R(-2,-1),S(1,-4),T(4,-1)$

اولا : نستعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين

$QS=\sqrt{(1-1)^{2}+(2+4)^{2}}=\sqrt{36}=6$

$RT=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1+1)^{2}}=\sqrt{36}=6$

بما ان القطران متساويان اذن الشكل مستطيل

ثانيا : نستعمل صيغة الميل لتحديد ما اذا كان القطران متعامدان

ميل $\frac{0}{6}=\frac{1-1}{4+2}=\overline{QS}$

ميل $\frac{-6}{0}=\frac{-2-4}{-1+1}=\overline{RT}$

بما ان حاصل ضرب الميلين = -1 فان القطران متعامدان وبالتالي الشكل معين

اذن الشكل مستطيل ومعين ومربع لان الضلعين المتتاليين متطابقان ومتعامدان

6) $Q(-2,-1),R(-1,2),S(4,1),T(3,-2)$

الحل :

$QS=\sqrt{(-2-4)^{2}+(-1-1)^{2}}=\sqrt{40}$

$RT=\sqrt{(-1-3)^{2}+(2+2)^{2}}=\sqrt{32}$

ميل $3=\frac{-6}{-2}=\frac{-2-4}{-1-1}=\overline{QS}$

ميل $-1=\frac{-4}{4}=\frac{-1-3}{2+2}=\overline{RT}$

بما ان القطران غير متساويان وحاصل ضرب الميلين لا يساوي -1 أي غير متعامدان

اذن الشكل ليس مستطيلا او معين او مربع

7 ) اذا كان AB = 14 فاوجد BC

خصائص المعين الاضلاع المتتالية متطابقة اذن BC = AB = 14

8 ) اذا كان $m\angle BCD = 118 ^{\circ}$ فاوجد $m\angle BAC$

الزاويتان المتقابلتين متطابقتان وقطرا المعين ينصف الزاوية $m\angle BAC= \frac{118}{2}=59^{\circ}$

9) اذا كان PC = x + 9 , AP = 3x -1 فاوجد AC

AP = PC

3x - 1 = x + 9

x = 5

AC = AP + PC

AC = 3x-1+x+9

AC = 28

10) اذا كان $m\angle ABC=(2x-7)^{\circ}$ و $m\angle BCD=(2x+3)^{\circ}$ فاوجد $m\angle DAB$

الزاويتان المتحالفتان متكاملتان

$m\angle ABC + m\angle BCD = 180$

2x -7 +2x + 3 = 180

x = 46

$m\angle BCD = 2x + 3 = 95$

وبما ان الزوايا المتناظرة متطابقة اذن $m\angle DAB= m\angle BCD = 95 ^{\circ}$

11) اذا كان $m\angle DPC=(3x-15)^{\circ}$ فاوجد قيمة X

$m\angle DPC=(3x-15)^{\circ} = 90$

3x = 15+90

x=35

12) المعطيات : QRST متوازي اضلاع و $TR\cong QS, m\angle QPR=90^{\circ}$

المطلوب : QRDT مربع

** QRST مستطيل ( اذا كان قطرا متوازي الاضلاع متطابقين فانه مستطيل )

** $\angle QPR$ قائمة ( تعريف الزاوية القائمة )

** $\overline{QS}\perp \overline{TR}$ ( تعريف التعامد )

** QRST معين ( اذا كان قطرا متوازي الاضلاع متعامدان فانه معين )

** QRST مربع ( النظرية 1.2 اذا كان الشكل الرباعي مستطيلا ومعينا فانه مربع )

13) المعطيات : JKQP مربع ، $\overline{ML}$ تنصف كلا من $\overline{KQ}, \overline{JP}$

المطلوب : JKLM متوازي اضلاع

** JKQP متوازي اضلاع ( جميع المربعات متوازيات اضلاع )

** $\overline{JK} \|\overline{ML}$ ( تعريف متوازي الاضلاع )

** $\overline{JP}\cong \overline{KQ}$ (الاضلاع المتقابلة لمتوازي الاضلاع متطابقة )

** $\overline{JP}= \overline{KQ}$ (تعريف تطابق القطع المستقيمة )

** JM = MP , KL = LQ (تعريف المنصف )

** JP = JM + MP , KQ = KL + LQ (مسلمة جميع القطع المستقيمة )

** JP = 2JM , KQ = 2KL ( بالتعويض )

**2JM = 2KL ( بالتعويض )

** JM = KL ( خاصية القسمة )

** KL = JM ( تعريف تطابق القطع المستقيمة )

** JKLM متوازي اضلاع ( اذا وجد ضلعان متقابلان في شكل رباعي متطابقان ومتوازيان فانه متوازي اضلاع )

14 ) طرق : يتقاطع طريقان كما في الشكل ، اذا كانت ممرات المشاة لها الطول نفسه فصنف الشكل الرباعي المكون من هذه الممرات ووضح تبريرك

معين ، قياس الزاوية بين الشارعين 60 والزاويتان المتقابلتان بالرأس متطابقتان، لذلك فقياس احدى زوايا الشكل الرباعي 29 وبما ان لممري المشاة الطول نفسه فان اضلاع الشكل الرباعي متطابقة لذلك فانها تشكل معينا .

15) زراعة : حدد مزارعا حقلا بأوتاد وحبال كما في الشكل المجاور ، اذا كانت اضلاع الشكل الرباعي المتشكل متساوية الطول وقطراه متعامدين فهل هذه المعلومات كافية لتتحقق ان الحقل مربع .

لا المعلومات ليست كافية ، بما ان الاضلاع الاربعة متطابقة وقطريه متعامدان فان الشكل مربع او معين وللتحقق من ان الحقل مربع يحتاج المزارع الى اثبات ان القطرين متطابقان

أظهر المزيد من الحل إخفاء جزء من الحل